Question

已知函数f（x）=12x2+lnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）

已知函数f（x）=12x2+lnx．（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=23x3图象的下方；（Ⅲ）求证：[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2（n∈N*）．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=

1

2

x2+lnx f′(x)＝x+

1

x

，当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝

1

2

，f(x)max＝f(e)＝

1

2

e2+1．
（Ⅱ）设F(x)＝

1

2

x2+lnx?

2

3

x3，则 F′(x)＝x+

1

x

?2x2＝

(1?x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1时F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上为减函数，又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3，∴函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3的图象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴[f′(x)]n?f′(xn)＝(x+

1

x

)n?(xn+

1

xn

)．
当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，有[f′(x)]n?f′(xn)＝

c

1 n

xn?1

1

x

+

c

2 n

xn?2+…+

c

n?1 n

x

1

xn?1

=

c

1 n

xn?2+

c

2 n

x