Question

已知：如图1，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD2=PB?PC，直线AD交⊙O于E点

已知：如图1，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD2=PB?PC，直线AD交⊙O于E点．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：AB?AC=AD?AE；（3）若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”（如图2），则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ABC，PA²=PC?PB
∵PD²=PB?PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠PAC+∠DAC=∠ABC+∠BAE
∵∠PAC=∠ABC
∴∠DAC=∠BAE
∴AD平分∠BAC；

（2）证明：连接BE，则∠AEB=∠ACB
∵∠BAE=∠CAD
∴△ABE∽△ADC
∴

AB

AE

=

AD

AC

即：AB?AC=AD?AE；

（3）解：（2）的结论仍然成立，
证明：连接BE
∵AB是直径
∴∠AEB=∠ACB=∠ACD=90°
∵PA是⊙O的切线
∴PA²=PC?PB，∠BAP=90°
∵PD²=PB?PC
∴PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∵∠BAP=90°，∠BEA=90°
∴∠BAE+∠PAD=∠BAE+∠EBA=90°
∴∠PAD=∠EBA
∵∠BEA=∠ACD=90°
∴△ABE∽△ADC
∴

AB

AE

=

AD

AC

，即：AB?AC=AD?AE
因此，（2）的结论仍然成立．