Question

已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长

已知：如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，PD⊥AB于点D，PD、AO的延长线相交于点E，连接CE并延长CE交⊙O于点F，连接AF．（1）求证：△PBD ∽ △PEC；（2）若AB=12，tan∠EAF= 2 3 ，求⊙O半径的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴AO⊥PA． ∵PD⊥AB， ∴ PA PE =cos∠APE= PD PA ． ∴PA 2 =PD?PE…① ∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线， ∴PA 2 =PB?PC…② 联立①②，得PD?PE=PB?PC， 即 PB PD = PE PC ． 又∠BPD=∠EPC， ∴△PBD ∽ △PEC． （2）连接BF，作OH⊥AB于H点， ∵△PBD ∽ △PEC， ∴∠C=∠PDB=90°． ∴BF是直径． ∴∠BAF=90°． ∵OH⊥AB， ∴OH ∥ AF． ∴∠EAF=∠HOA． ∴tan∠EAF=tan∠HOA=AH：OH=2：3． 又AB=12， ∴AH=6． ∴OH=9． ∴OA= 6 2 + 9 2 =3 13 ．