如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算HC?HBBC的值
如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算HC?HBBC的值．...
如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算HC?HBBC的值．
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连接OB、OC、OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA2=PH?PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA2=PB?PC，
∴PH?PO=PB?PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，
=
，即
=
①，
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴
=
，即
=
②，
由①②得
=
，即
=
，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
=
，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴
=
．
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA2=PH?PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA2=PB?PC，
∴PH?PO=PB?PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，
| BH |
| OC |
| PB |
| PO |
| BH |
| PB |
| OC |
| PO |
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴
| OB |
| HC |
| PO |
| PC |
| OB |
| PO |
| HC |
| PC |
由①②得
| BH |
| PB |
| HC |
| PC |
| HC |
| BH |
| PC |
| PB |
∴
| HC?BH |
| BH |
| PC?PB |
| PB |
| BC |
| PB |
∴
| HC?HB |
| BC |
| BH |
| PB |
∴
| HC?HB |
| BC |
| OC |
| PO |
| OA |
| OP |
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴
| HC?HB |
| BC |
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| 2 |
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