Question

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．（1）求证：PA2=PB?PC；（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC

如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C．（1）求证：PA2=PB?PC；（2）割线PEF交⊙O于点E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的长．

Answer 1

解答：解：（1）连接AB、AC、BO、AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，（1分）
又∵2∠BAO+∠O=180°，
∴∠PAB=

1

2

∠O，
∵∠C=

1

2

∠O，
∴∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCA，（4分）
∴

PA

PC

＝

PB

PA

，
即PA²=PB?PC．（5分）

（2）∵PA²=PB?PC，
同理，PA²=PD?PE，
∴PD?PE=PB?PC，（7分）
且PB=BC=4，PE=6，
∴PD＝

4×(4+4)

6

＝

16

3

，（9分）
即DE=PE-PD=6-

16

3

=

2

3

．（10分）