Question

已知函数f(x)＝ax³－bax²＋b (a＞0) 在区间［－1，2］上的最大值为3 最小值为－

已知函数f(x)＝ax³－bax²＋b (a＞0) 在区间［－1，2］上的最大值为3 最小值为－13 求 a，b。的值

Answer 1

由f '(x)=3ax²-2abx=ax(3x-2b)=0
得驻点x₁=0，x₂=2b/3. x₁，x₂∈[-1，2];
若x₁<x₂，则x₁是极大点，x₂是极小点。此时极大值=f(0)=b=3;
极小值f(2b/3)=f(2)=8a-12a+3=-4a+3=-13，得a=16/4=4.
若x₂<x₁，则x₂是极大点，x₁是极小点。此时极小值=f(0)=b=-13;
极大值=f(2b/3)=f(-26/3)，此时极大点-26/3∉[-1，2]内，故无此情况。
结论：a=4, b=3.
即f(x)=4x³-12x²+3.
f '(x)=12x²-24x=12x(x-2)=0，极大点x₁=0，极小点x₂=2，都在区间[-1，2]内；
且maxf(x)=f(0)=3；minf(x)=f(2)=32-48+3=-13，完全符合题意。