Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，求f（x）的解析式，设函数g（x）=2x+m，若f（x）＞g

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，求f（x）的解析式，设函数g（x）=2x+m，若f（x）＞g（x）在R上恒成立，求m的范围

Answer 1

解：设f(x)=ax^2+bx+c,
因为f(0)=1,所以c=1，
又因为f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，
所以 a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x
整理得 （2a-2)x+(a+b)=0
上式要成立，必须满足 2a-2=0且a+b=0
所以 a=1,b=-1，即 f(x)=x^2-x+1
若f（x）＞g（x）在R上恒成立，即
x^2-x+1>2x+m,
配方整理得 （x-3/2)^2>m+5/4
因为上式要恒成立，并且（x-3/2)^2>=0恒成立，
所以 m+5/4<0，
即 m<-5/4
所以，当m<-5/4时，f（x）＞g（x）在R上恒成立，
所求m的范围为m<-5/4.
(楼上的答案符号反了的原因是把恒成立没有理解正确。）

Answer 2

f=ax^2+bx+c
f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
a(x+1)^2+b(x+1)+c-ax^2-bx-c=2x
c=1
2ax+a+b-2x=0
a=1 b=-1
f=x^2-x+1

x^2-x+1>2x+m
x^2-3x+1-m>0
9-4(1-m)>0
m>-5/4