Question

根号2不是有理数怎么证明

Answer 1

综述

证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2*P，所以 Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数。

设Q=2n，代入Q平方=2*P平方得：2*n平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。

有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数（rational number）。有理数的小数部分是有限或循环小数。不是有理数的实数遂称为无理数。

有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

Answer 2

用反证法。

证：

假设√2是有理数，则√2可以表示为分数的形式。

√2>1，令√2=b/a，(a，b∈N*，a、b互质，b>a)

则2=b²/a²

b²=2a²

a、b互质，则a²、b²互质

而若等式成立，则a²是b²的因子，与a、b互质矛盾。

假设错误，√2不是有理数。

有理数的认识

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

Answer 3

假设根号2是有理数
设m/n=√2(m,n互质)，则有(m/n)^2=2
则m^2/n^2=2,m^2=2n^2
∵n是整数∴m是偶数
设m=2q，则q是整数，则有m^2=4q^2
可知n^2=2q^2
于是n也是偶数
∵m,n互质，但是m,n都是偶数。
所以与原设相矛盾。
因此根号2不是有理数。