求证 若n>1,a>b>0 nb^(n-1)*(a-b)<a^n-b^n 在线等 20
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设f(x)=x^n
f'(x)=nx^(n-1), f(x)在(b,a)内满足中值定理条件，所以
在(b,a)内存在c, [f(a)-f(b)]/(a-b)=nc^(n-1)
又0<b<c<a, 所以nb^(n-1)<nc^(n-1)<na^(n-1)
所以nb^(n-1)<[f(a)-f(b)]/(a-b)<na^(n-1)
所以n(a-b)b^(n-1)<a^n-b^n<n(a-b)a^(n-1)
f'(x)=nx^(n-1), f(x)在(b,a)内满足中值定理条件，所以
在(b,a)内存在c, [f(a)-f(b)]/(a-b)=nc^(n-1)
又0<b<c<a, 所以nb^(n-1)<nc^(n-1)<na^(n-1)
所以nb^(n-1)<[f(a)-f(b)]/(a-b)<na^(n-1)
所以n(a-b)b^(n-1)<a^n-b^n<n(a-b)a^(n-1)
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