Question

解析几何

在平面直角坐标系xoy中，点B与点A（0，2）关于原点o对称，动点P满足AP⊥BP
（1）求动点P的轨迹C的方程
（2)设直线l：y=x+m与曲线c交于M、N两点
若点A在以线段MN为直径的圆内，求实数m的取值范围

Answer 1

1.因为B与点A（0，2）关于原点o对称，所以点B为：(0，-2)。设点P为：(x，y).因为AP⊥BP，所以AP.BP=0（向量积）即：
(x，y-2).(x，y+2)=x^2+(y-2)(y+2)=0即：x^2+y^2=4
所以轨迹C的方程为：x^2+y^2=4，是一个圆心在原点，半径为2的圆。

2.联立圆的方程与直线的方程：
x^2+y^2=4
y=x+m整理得：
2x^2+2mx+(m^2-4)=0
2y^2-2my+(m^2-4)=0设解为：M=（x1，y1），N=(x2，y2).
以线段MN为直径的圆的圆心为：
((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)=(-m/4，m/4)；
以线段MN为直径的圆的半径为：
√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)/2
=√((x1+x2)^2+(y1+y2)^2-4x1x2-4y1y2)/2
=√(16-7m^2/2)/2.
点A在以线段MN为直径的圆内.则：
√((m/4)^2+(2-m/4)^2)<√(16-7m^2/2)/2.整理得：
√(m^2-8m+32)<√(32-7m^2)
所以：
m^2-8m+32≥0
32-7m^2≥0
m^2-8m+32<32-7m^2解得：
m∈R
-4√14/7≤m≤4√14/7
0<m<1
所以：0<m<1.