Question

（2001沈阳）已知：如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，1为半径的圆与劣轴相切于原点O。点P在x轴

（2001沈阳）已知：如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，1为半径的圆与劣轴相切于原点O。点P在x轴的负半轴上，PA切⊙C于点A，AB为⊙C的直径，PC交OA于点D。
（1）求证：PC⊥OA；
（2）若点P的坐标为（–2，0），求直线AB的解析式；
（3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其它条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式；
（4）在（3）的情况下，分析并判断是否存在这样的一点P，使。若存在，直接写出点P的坐标（不写过程）；若不存在，简要说明理由。

Answer 1

解：
（1）∵PA,PO切⊙C于点O,A
∴PA=PO
∠APC=∠OPC
∴PD⊥OA
∴PC⊥OA
说明:用切线长定理证明得出的
（2）
过点B作BE⊥X轴于点E
由题意知P(-2,0）
则OP=2
在Rt△PCO中,PC=√5（由勾股定理得出）
∵∠POC=90°
而OD⊥PC
∴Rt△OCD∽Rt△PCO
∴PC/OC=CO/CD
带入数据，解得CD=√5/5
又PC⊥AO，AO⊥OB
即有CD//BO
而AC=BC
∴AD=DO
∴CD是△AOB的中位线
∴BO=2√5/5
由PC//OB
得∠CPO=∠BOE
又∠COP=∠BEO=90°
∴Rt△OEB∽Rt△PCO
∴有BE/CO=BO/CP=OE/OP
带入数据，解得BE=2/5,OE=4/5
∴B(4/5,2/5)
∵C(1,0)
∴可设AB的解析式为y=ax+b
有4k/5+b=2/5
b=1
得AB解析式为=-3x/4+1
(3)∵PD⊥AO
又AD=DO
∴S△APC=S△OPC
∴S四边形ACOP=2S△PCO=-X（X<0)
（4）∵△AOC与△OBC等底同高
∴S△OBC=S△AOC
∴S四边形ACOP=2S△AOC
∴S△AOC=S△APO
而PC⊥AO
∴PD=CD
∴PC和OA互相垂直平分
∴四边形APOC为菱形
∵∠COP=90°
∴菱形APOC为正方形
∴PO=AC=1
∴P(-1,0)