Question

已知函数f(x)=x^2-2a+5(a＞1)

1、若f(x)的定义域和值域均是[1,a]，求实数a的值
2、若f(x)在区间（-无穷大，2]是减函数，且对任意x1,x2属于[1,a+1]，总有|f(x1)-f(x2)|≤4，求实数a的取值范围

Answer 1

题目应为:已知函数f(x)=x^2-2ax+5(a＞1)
(1) 因为函数f(x)=x^2-2ax+5,(a>1）对称轴为x=a,抛物线开口向上，在 （1，a）上单调递减，则f(1)=a,f(a)=1,代入解得a=2
(2) 函数f(x)=x^2-2ax+5,(a>1)的递减区间是(-∞,a]，若满足f(x)在区间(-∞,2]上递减，则a>=2.
因为a属于[1,a+1]，则f(x)在x=a上取得最小值，若需满足在[1,a+1]上,总有|f(x1)-f(x2)|小于等于4，则只需满足f(1)-f(a)<=4,f(a+1)-f(a)<=4(f(a)为最小值，绝对值符号可以直接去掉）代入解得：-1≤a≤3,又因为a≥2,则实数a的取值范围为[2,3]