Question

已知F1、F2为椭圆x^2/25+y^2/9=1的两个焦点，P为椭圆上一点PF1垂直于PF2，则三角形F1pF2的面积

Answer 1

∵a^2=25 ,b^2=9
∴c^2=a^2 - b^2=25-9=16
根据椭圆性质:
|PF1| + |PF2|= 2a = 10......(1)
|F1F2|= 2c = 8
∵PF1⊥PF2
∴∠F1PF2=90°
根据余弦定理:
|F1F2|^2 = |PF1|^2 + |PF2|^2 - 2|PF1|×|PF2|cos∠F1PF2
64 = |PF1|^2 + |PF2|^2 - 2|PF1||PF2|cos90°
|PF1|^2 + |PF2|^2 = 64......(2)
由(1)(2)两式，可得：
2|PF1|×|PF2| = (|PF1| + |PF2|)^2 - (|PF1|^2 + |PF2|^2) =10^2 - 64 = 36
∴|PF1|×|PF2|=18
S△F1PF2=(1/2)×|PF1|×|PF2|=(1/2)×18 = 9

Answer 2

a = 5,b=3,c=4,在△F1PF2中，令PF1=m,PF2=n,则m+n=10,F1F2=8,
由勾股定理得m2+n2=（m+n）2-2mn=64,解得mn=18,
由此S△F1PF2=（1/2）mn=9