Question

如何证明数列（X1=√2，Xn+1=√2Xn,n=1,2……;）有极限

Answer 1

设f(x)=√(2x),当x>0时是增函数
∵x2=f(x1)=√(2√2)>√2=x1
∴f(x2)>f(x1),即x3>x2
以此类推,得{xn}是单调递增数列
得xn+1>x1=√2
作特征方程r=√(2r),解得r=0或2

∵|xn+1|=|√(2xn)|
∴|xn+1-2|=|√(2xn)-2|
=|2xn-4|/|√(2xn)+2|
<2|xn-2|/(√2+2)
=k|xn-2|,其中k=2/(√2+2)<1
∴|xn-2|<k|xn-1-2|<k²|xn-2-2|<...<k^(n-1)|x1-2|
∵lim(n→∞)k^(n-1)|x1-2|=0
夹逼定理得lim(n→∞)|xn-2|=0,即lim(n→∞)xn=2
最後一步利用了如果lim|xn|=0,那麼limxn=0

追问

问一下这个函数怎么证明它有界

是数列

谢谢

追答

整理一下，xn=2-1/(1+xn-1)，利用辅助函数得到{xn}是单调递增数列，所以xn>x1=1>0，所以xn=2-1/(1+xn-1)<2，有界

追问

昨天那个题目，我想问一下怎么证明它有界呀

追答

昨天的题目我没有在用单调有界定理啊，我是用夹逼定理给你证明的极限好不好？

追问

我没学过夹逼定理，所以看不懂

追答

？？？开什么玩笑，夹逼定理和单调有界定理，不都是在介绍重要极限那章的时候给出来的吗？我们还用夹逼定理证明x趋于0时sinx/x的极限是1了啊

追问

我真没学过呀

谢谢

追答

那就是各个版本不同咯

追问

你能告诉我怎么做那题吗，用单调有界，谢谢