Question

求函数y=根号2+x+根号2-x的值域

Answer 1

设根号2+x=m，根号2-x=n，则m²+n²=4，其中m≥0，n≥0，

这就变成求y=m+n的值域问题。

m²+n²=4是第一象限的4分之1圆，画出直线m=-m，平移直线可以看到，m+n在（2,0）处，以及右侧与圆的切点（根号2，根号2）处取得两个最值，

所以最小值是y=2+0=2，最大值是y=根号2+根号2=2根号2

所以值域是[2,2根号2]

Answer 2

解：
算术平方根恒非负，2+x≥0，2-x≥0
-2≤x≤2
y≥0
y²=(2+x)+(2-x)+2√(4-x²)=4+2√(4-x²)
-2≤x≤2，0≤x²≤4，0≤4-x²≤4
4+2√0≤4+2√(4-x²)≤4+2·√4
4≤4+2√(4-x²)≤8
4≤y²≤8
y≥0，2≤y≤2√2
函数y的值域为[2，2√2]