Question

如何证明log(2,3)是无理数？

Answer 1

是无理数.
证明如下,假如它是有理数,则可以写成m/n的形式,其中m和n均为整数且互素,那么以二为底三的对数=ln3/ln2=m/n,从而2^m=3^n而这是不可能的,因为2^m一定是偶数,而3^n一定是奇数,他们不可能相等,从而结论得证.

Answer 2

反证法证明如下：
假设log23是有理数,则可以写成p/q的形式,其中p为自然数，q为正整数，二者互素。则：
log23=p/q
2^p/q=3
两边同时取q次方：
2^p=3^q
鉴于2^p一定是偶数,而3^q一定是奇数（除非p=q=0，但前文已规定q为正整数，矛盾）,因此它们不可能相等,产生矛盾，则假设错误，结论得证。