Question

求不定积分 ∫ xarcsinxdx 不懂答案的其中一步

∫ xarcsinxdx=1/2∫ arcsinxdx²=1/2x²arcsinx-1/2∫ (x²/(根号1-x²))dx=x²/2 arcsinx+1/2∫ (根号1-x²)dx-1/2∫ dx/(根号1-x²)......
为什么-1/2∫ (x²/(根号1-x²))dx=1/2∫ (根号1-x²)dx-1/2∫ dx/(根号1-x²) ？

Answer 1

具体回答如下：

∫xarcsinxdx

=1/2*∫arcsinxdx^2

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2darcsinx

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx       

令x=sint

∫x^2/√(1-x^2)dx

=∫(sint)^2/costdsint

=∫(sint)^2dt

=∫(1-cos2t)/2dt

=1/2t-1/4sin2t+C=1/2t-1/2sint*cost+C

又x=sint，则t=arcsinx，cost=√(1-x^2)

∫x^2/√(1-x^2)dx

=1/2t-1/2sint*cost+C

=1/2arcsinx-1/2*x*√(1-x^2)+C

∫xarcsinxdx

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx

=1/2*x^2*arcsinx-1/4arcsinx+1/4*x*√(1-x^2)+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

如图

Answer 3

稍作变形：