Question

xarcsinxdx的不定积分

Answer 1

换元法然后再用分部积分法就可以。

单独求∫√(1-x²)dx

令x=sina

√(1-x²)=cosa

sin2a=2sinacosa=2x√(1-x²)

dx=cosada

∫√(1-x²)dx

=∫cosa*cosada

=∫(1+cos2a)/2 da

=1/2∫da+1/4∫cos2ad2a

=a/2+sin2a/4

=arcsinx/2+2x√(1-x²)/4

=arcsinx/2+x√(1-x²)/2

所以原式=1/2x²*arcsinx+(arcsinx)/4+x√(1-x²)/4-arcsinx+C

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

换元法然后再用分部积分法就可以了