Question

n维线性空间V的线性变换A在一组基下的矩阵是对角阵,当且仅当A有n个互异的特征对不对？

Answer 1

设n维线性空间V有两个基a,b，从a到b的过渡矩阵为B（即任取V中元素v，在基a,b下的坐标分别是n维列向量x,y，则y=B*x），则b到a的过渡矩阵为B的转置矩阵B'.
设f是V中的线性变换，则任取V中元素v，设v在基a,b下的坐标分别是n维列向量x,y，f(v)在基a,b下的坐标分别是n维列向量X,Y，f在基a,b下的矩阵分别是F,G，则X=F*x，Y=G*y=G*B*x，而Y=B*X，所以B*X=G*B*x，两边左乘B'，X=B'*G*B*x，由v的任意性，B'*G*B是f在基a下的矩阵，由f在基a下的矩阵是唯一的，F=B'*G*B，由矩阵相似的定义，F和G相似.