Question

证明若n维线性空间V的线性变换σ有n个不同的特征值,则V恰有2^n个σ的不变子空间

刘老师您好，请看一下这个怎么证明

Answer 1

因为σ是n维线性空间V上的线性变换，且σ有n个不同的特征值，所以σ有n个线性无关的特征向量a1，a2，…，an，则从中任意选取i（i=0，1，…，n）个向量，其生成的子空间均为V在σ下的不变子空间（如选取的向量散郑为a1，…ar，设其对应的特征向量分别为m1，…，mr，则其生成的子空间W=<a1，…，ar>，对任意的a=k1a1+…krar属于W，有σa=k1m1a1+…+krmrar属于W，从而W是V在σ下的段则不变子空间），由于总的选取方式有：C（0，n）+C（1，n）+…+C（n，n）=（1+1）^n=（1+1）^n=2^n种（C（i，j）表示从j个元素中选取i个的握掘棚选法），所以V在σ下的不变子空间至少有2^n个，而2^n也为V的子空间的总个数，所以V在σ下的不变子空间的个数为2^n