Question

已知正项数列的前n项和为Sn,满足a1=1,Sn²-Sn-1²=an³（n≥2）。题目如下：

Answer 1

证：
n≥2时，
sn²-s(n-1)²=an³
sn²-(sn-an)²=an³
sn²-sn²+2ansn-an²=an³
2ansn=an³+an²
数列为正项数列，an>0
an≠0，等式两边同除以2an
sn=an²/2
+an/2
n≥2时，
an=sn-s(n-1)=an²/2
+an/2
-a(n-1)²/2
-a(n-1)/2
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列为正项数列，an>0
a(n-1)>0
an+a(n-1)>0，要等式成立，只有
an-a(n-1)=1，为定值。又a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时，a1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n