Question

过点P(2,1)作直线l交x,y轴正半轴于A,B两点,当|PA|•|PB|取最小值时，求直线l的方程.

Answer 1

最笨的方法:
可令直线l的方程为y-1=k*(x-2)
求出坐标A(-1/k
+2,0),B(0,-2k+1)
再求出|PA|=
根号
(1/k^2
+1),|PB|=2*根号(k^2+1)
所以|PA|*|PB|=2根号(1/k^2
+1)*根号(k^2+1)
=2*根号[(1/k^2
+1)(k^2+1)]
=2*根号[2+k^2
+
1/
k^2]
>=2*根号(2+2)
=4
要取等号必须
k^2
=1/
k^2
得k=±1
又直线l交x,y轴
正半轴
因此k只能取－1
所以直线l的方程为
y=－x+3
简单的方法
：
参数法
：
直线方程
为
x=2+t*cosα
y=1+t*sinα
可得|PB|＝|2/cosα|,
|PA|＝|1/sinα|
|PA||PB|=|(2/cosα)*(1/sinα)|
=|2/(cosα*sinα)|
=|4/sin2α|
>=4
当sin2α=1即α＝45度或135度时最小（α是直线与x正半轴的成的角）
又直线l交x,y轴正半轴
所以α＝135度
即
直线的斜率
为－1
其他同上