Question

已知数列{an}中,a1=2/9,且an=Sn·Sn-1(n大于等于2),求lim(an/Sn^2)

Answer 1

在n≥2时，
由于a(n)=S(n)-S(n-1)，
所以S(n)-S(n-1)=S(n)S(n-1)，
上式两边同除以S(n)S(n-1)，得
1/S(n-1)-1/S(n)=1，
即1/S(n)-1/S(n-1)=﹣1，
其中1/S(1)=1/a(1)=9/2，
即{1/S(n)}是以9/2为首项、以﹣1为公差的等差数列，
所以1/S(n)=9/2+(-1)(n-1)=11/2-n，
即S(n)=2/(11-2n)。
由此求得
a(n)=S(n)-S(n-1)
=2/(11-2n)-2/(13-2n)
=4/[(11-2n)(13-2n)]
所以
lim[a(n)/S(n)^2]【n→∞】
=lim(n→∞){4/[(11-2n)(13-2n)]}/{4/[(11-2n)^2]}
=lim(n→∞)[(11-2n)/(13-2n)]
=1

Answer 2

解答：
因为：sn=sn-1/(
2sn-1+1），所以：1/sn=(2sn-1+1)/sn-1=2+1/sn-1
所以：1/sn-1/sn-1=2，得到：数列{1/sn}为等差数列，公差为2，首项为1
所以：1/sn=1+(n-1)*2=2n-1，解得：sn=1/(2n-1)
所以：an=sn-sn-1=1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/[(2n-1)(2n-3)]