Question

一个关于幂函数的问题，望解答

函数f(x)=x^(2/4) 哪种表达是对的？ f(x)=x^(2/4)→f(x)=四次方根√x^2 x^2≥0即x∈R f(x)=x^(2/4)→f(x)=x^(1/2)→f(x)=√x x≥0 x^(2/4) x^(4/8) x^(8/16) 是不是都是一个函数

Answer 1

首先我们要明白：对于幂函数其幂次必须为不可约分数。即：如果a为幂次，则a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数。
因此：函数f(x)=x^(2/4)
必须先改写为f(x)=x^(1/2).然后才可以讨论x的特性，如：定义域，f(x)的值域。
（注解疑问：如果认为“p、q互质”不成立，则有：y=(-2)^(2/4))=(-2)*(-2)^(1/4)=4)^(1/4);看起来底数为负数也是成立的。
然而，我们知道y=(-2)^(1/2)底数为负数是不能开方的，是不成立的，为什么y=(-2)^(2/4)幂次是对的呢？。是因为我们忽视了幂函数的基本性质：幂次分子分母必须“p、q互质”。