Question

线性代数题目求助大神

Answer 1

3、直线 L1 的方向向量为 v1=(1，2，-1)×(1，-1，1)=(1，-2，-3)，
直线 L2 的方向向量为 v2=(2，-1，1)×(1，-1，1)=(0，-1，-1)，
所求平面的法向量为 n=v1×v2=(-1，1，-1)，
因此，所求方程为 -(x-1)+(y-2)-(z-1)=0，即 x-y+z=0 。
4、两平面的法向量分别是 n1=(1，0，2)，n2=(0，1，-3)，
因此所求直线的方向向量为 v=n1×n2=(-2，3，1)，
直线方程为 (x-0)/(-2)=(y-2)/3=(z-4)/1 。

Answer 2

非齐次线性方程组AX=b（I）和齐次线性方程组AX=O（II）的解之间存在密切的关系，有以下性质：
若ξ1，ξ2均为（I）的解，则ξ1-ξ2为（II）的解。
若ξ0为（I）的特解，ξ拔为（II）的通解，则ξ0+ξ拔为（I）的通解。
首先求AX=O的通解。η1，η3为AX=B的解，所以η1-η3是AX=O的解。又因为系数矩阵A的秩为4，未知量的个数为5，所以解向量只有一个，因此AX=O的通解可以表示成t(η1-η3)。
然后找AX=b的特解。把已知的特解代进去，有Aη1=b，Aη2=b。两式相加再除以2，可以得到A(η1+η2)/2=b，即(η1+η2)/2也是AX=b的一个特解。
所以AX=b的通解为t(η1-η3)+(η1+η2)/2。而η1+η2已知，η1-η3=(η1+η2)-(η2+η3)，所以AX=b的通解就求出来了。