Question

设f(x)=x(-π﹤x﹤π)，试把f(x)展开成以π为周期的傅里叶级数

Answer 1

【答案】：对f(x)做周期为2π的奇拓展,将f(x)拓展为实数域上的奇函数,由狄利克雷定理可知f(x)可以拓展为傅里叶级数；
设f(x)=a_{0}+ Sigma(a_{n}cosnx)+Sigma(b_{n}sinnx)；（Sigma从1到无穷求和）
两边乘以cosnx,在(-π,π)上求定积分可得a_{n}=0；
等式两边在(-π,π)上求定积分可得a_{0}=0；
两边乘以sinnx,在(-π,π)上求定积分可得b_{n}=(-1)^{n+1}2/n；
最后一步的计算过程中（sinnx）^2在(0,π)上的定积分为π/2；
xsinnx在(0,π)上的定积分为}=(-1)^{n+1}π/n；