Question

什么是指数函数？

Answer 1

指数函数是一种特殊的函数，其定义来源于数学的指数运算。指数运算是指以一个固定的底数a对一个不同的指数n进行运算，表示为a^n。指数函数所定义的函数形式为f(x) = a^x，其中a是正实数（底数），x是变量，表示指数。

① 知识点定义来源及讲解： 指数函数的图像特点和性质可以通过以下几个方面来了解：

• 底数a大于1时，指数函数递增；底数a在0和1之间时，指数函数递减；

• 当x为正无穷大时，函数值趋于正无穷大；当x为负无穷大时，函数值趋于正0；

• 当x为0时（除非底数a为1），函数值始终为1；

• 当x为正数时，指数函数值大于0。

② 知识点运用： 指数函数广泛应用于科学、经济、工程等领域中，特别是在需要描述指数增长或指数衰减的情况下。例如，在金融领域中，指数函数可以用于计算复利和增长率；在生物学中，指数函数可以用于描述细菌数量的增长；在物理学中，指数函数可以用于描述放射性元素的衰变过程等。

③ 知识点例题讲解： 例题1：画出指数函数f(x) = 2^x的图像，并确定它的递增递减区间。 解答：首先我们可以选择一些不同的x值，计算对应的f(x)值，并将这些点连接起来得到图像。当x=0时，f(x)=2^0=1，所以图像必经过点(0, 1)。当x=1时，f(x)=2^1=2，所以图像还经过点(1, 2)。同理，我们可以计算出x=2时，f(x)=2^2=4，所以图像经过点(2, 4)。以此类推，可以得到更多的点，然后将它们连接起来，就得到了图像。由于底数a=2大于1，所以指数函数递增的区间为全体实数集R。

例题2：求函数f(x) = 3^(x+2)的值域。 解答：要求函数的值域，我们首先要找到函数图像的上下界。由于底数a=3大于1，所以指数函数是递增函数。可以发现当x取负无穷大时，函数值趋近于正0；当x取正无穷大时，函数值趋近于正无穷大。因此，值域为(0, +∞)。