Question

求证三角形ABC 是等腰三角形

已知三角形ABC 中, a tanA+ b tanB=(a+b)tan[(A+B)/2], 求证三角形ABC 是等腰三角形.

可以把计算过程写出来吗?

Answer 1

你式中的a应该是角A的对边，b是角B的对边吧。
解：
atanA+btanB=(a+b)tan((A+B)/2)
左边展开，右边tan半角公式
=>a(sinA/cosA)+b(sinB/cosB)=(a+b)((1-cos(A+B))/(1+cos(A+B)))^0.5 (A^0.5就是根号A）
左边通分，右边分母有理化
=>(asinAcosB+bcosAsinB)/(cosAcosB)=(a+b)(sin(A+B)/(1+cos(A+B)))
左边不变，右边和角公式反变换
=>(asinAcosB+bcosAsinB)/(cosAcosB)=(a+b)((sinAcosB+cosAsinB))/(1+cosAcosB-sinAsinB))
两边同乘两个分母的乘积并展开
=>asinAcosB+bcosAsinB+[asinAconAcosBcosB]+[bcosAcosAsinBcosB]-asinAsinAcosBsinB-bsinAcosAsinBsinB=[asinAconAcosBcosB]+bsinAcosAcosBcosB+acosAcosAsinBcosB+[bcosAcosAsinBcosB]
消去上式中[]的项，将带“-”号的项移到等号另外一端变号
=>asinAcosB+bcosAsinB=asinAsinAcosBsinB+bsinAcosAsinBsinB+bsinAcosAcosBcosB+acosAcosAsinBcos
等号右边提取公因式
=>asinAcosB+bcosAsinB=asinBcosB(sinAsinA+cosAcosA)+bsinAcosA(sinBsinB+cosBcosB)
()里为1，消去，将系数是a和b的项分别合并
=>acosB(sinA-sinB)=bcosA(sinA-sinB)
解得：
sinA=sinB => A=B => △ABC是以C为顶角的等腰三角形
或acosB=bcosA =>角C的高线平分c => △ABC是以C为顶角的等腰三角形

Answer 2

定义：有两边相等的三角形是等腰三角形

等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。