已知A.B.C三点共线.且对空间任意一点O，存在不为0的实数λ.m.n.使λOA＋mOB＋nOC=0.求λ＋m＋n的值
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三点共线,有AC=kAB
或:AC-kAB=0. (1)
又有:AC=OC-OA, AB=OB-OA
代入(1): OC-OA- k(OB-OA)=0
即:(k-1)OA-k(OB)+OC=0
令:λ=k-1, m=-k, n=1, 则有:
λOA＋mOB＋nOC=0. 此时:λ＋m＋n=(k-1)+(-k)+1=0.
或:AC-kAB=0. (1)
又有:AC=OC-OA, AB=OB-OA
代入(1): OC-OA- k(OB-OA)=0
即:(k-1)OA-k(OB)+OC=0
令:λ=k-1, m=-k, n=1, 则有:
λOA＋mOB＋nOC=0. 此时:λ＋m＋n=(k-1)+(-k)+1=0.
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必有OA＋OB=2OC所以λ＋m＋n=0
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