Question

【急】实在是搞不懂“圆锥曲线”和"韦达定理"和"设而不求"之间的关系，谁能帮帮我？？？

首先，我只知道韦达定理在一元二次方程里面的应用，但是圆锥曲线是二元二次啊，怎么用的到韦达定理。 我的书上写的一个东西我也是看不懂啊.具体如下：
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
设AB是椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)的弦，A(x1,y1) B(x2,y2),弦重点M(xo,yo)，则 AB的斜率为 -b^2xo/a^2yo

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

到底怎么得出来的啊，我就是搞不懂啊！！ 请大家帮帮我！ 谢谢了！我很急。

顺便说下设而不求的原理。

Answer 1

圆锥曲线是二次，把直线方程代入消掉一个未知数，就是一元二次。
舍而不求是：设出两个交点坐标，但不求出两个交点坐标，仅用韦达定理标示出x1+x2、x1x2,y1+y2、y1y2的关系式。这就是设而不求。
上题先求出直线方程，代入椭圆方程，得出一个一元二次方程，用韦达定理求出根与系数关系。你好好看看书吧。

Answer 2

首先要声明：韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，但二元二次方程和维达定理之间并不构成充要条件的。
举个反例：
x^2 + y^2 = 1
2x^2 + 2y^2 = 2
这是一个二元二次方程，但同时也是不定方程组，它没有维达定理所说的性质。

关于圆锥曲线的中点弦的一些特性，它的得到通常使用的是点差法。维达定理的使用是在能使用消元法消去一个未知数时才显得可行。也就是说要先利用消元法将多元方程转化为一元方程后，再使用维达定理。

关于点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0 ，将这个式子移项整理，
易得斜率 k = (y1-y2)/(x1-x2) = -(b^2/a^2)*(x1 + x2)/(y1 + y2)，
又因为M为AB中点，于是有 yo = (y1 + y2)/2 , xo = (x1 + x2)/2,
所以 k = -b^2xo/a^2yo.

设而不求通常是为了省去不必要的中间过程，这是一种方法，一般讨论一个具有普遍意义的方法时，我们不会问这个方法的原理是什么，而是讨论什么情况下使用这种方法更加有效率，这个方法具有怎样的特点等。
点差法是设而不求方法的一种具体的体现，多做题将会积累这方面的经验。