Question

点O是四边形ABCD的外接圆和内切圆的圆心,内切圆与四边形各边分别相切于点E.F.G.H,求证四边形ABCD为正四边

ABCD为正四边形

Answer 1

∵四边形ABCD有外接圆，∴存在一点O 满足OA=OB=OC=OD
∴∠A=90°，同理可证：∠B=∠C=∠D=90°
∴四边形ABCD是矩形
过O作OM⊥BC于M ON⊥CD于N
∵存在一个内切圆 ∴OM=ON
可证 ：四边形MONC是矩形
∵OM=ON
∴四边形MNOC是正方形
∴MC=NC
由垂径定理得：BC=2MC CD=2NC
∴BC=CD
又四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是正方形 即正四边形

Answer 2

点O是四边形ABCD的外接圆和内切圆的圆心，设两圆半径分别为R和r
所以:OA=OB=OC=OD,OE=OF=OG=OH,而OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥DA,知:AE=BE=BF=CF=CG=DG=DH=AH=√(R^2-r^2)可得:AE+EB=BF+CF=CG+DG=DH+HA,即AB=BC=CD=DA