Question

根据下列条件，求椭圆的标准方程

（1）长轴长是短轴长的两倍，且一条准线方程X＝4。（2）以短轴的一个端点和两个焦点为顶点的正三角形，且焦点到椭圆的最短距离为根号3

Answer 1

（1）一条准线方程X＝4,所以焦点一定要X轴上，设方程为：x^2/a^+y^2/b^2=1
a^2/c=4,2a=2*2b,a^2=b^+c^2,解得：a^2=12,b^2=3,所以所求椭圆方程：x^2/12+y^2/3=1
（2）以短轴的一个端点和两个焦点为顶点的正三角形，则b=c；
焦点到椭圆的最短距离为根号3，则a-c=3.；再加上方程a^2=b^+c^2，解得：a^2=54+36√2
b^2=27+18√2.
因为焦点可以在X轴上也可能在Y轴上，所以答案就是两种情况了。
分别为：x^2/(54+36√2)+y^2/(27+18√2)=1
x^2/(27+18√2)+y^2/(54+36√2)=1

Answer 2

椭圆的标准方程是
x^2/a^2+y^2/b^2=1
∵焦距为8
c=8/2=4
其中(c^2=a^2-b^2)
长轴为20
2*a=20
所以
a^2=100
∴b^2=
a^2-
c^2=100-16=84
∴x^2/100+y^2/84=1