Question

分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程

1)长轴长与短轴长之和为10，焦距为4√5
2）对称轴是坐标轴，离心率等于√3/2，且过点（2,0）
3）经过点M（√3 ，-2），N（-2√3 ，1）
4）过点（5/2 ，-3/2）且与椭圆5x²+9y²=45有相同焦点
5）中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为9√2，离心率为0.6

Answer 1

1）2a+2b=10 ，2c=4√5 ，因此 c^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=20 ，
所以，由 a+b=5 ，a-b=4 得 a=9/2 ，b=1/2 ，
所以，标准方程为 x^2/(81/4)+y^2/(1/4)=1 或 y^2/(81/4)+x^2/(1/4)=1 。
2）由 c/a=√3/2 得 c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4 ，因此 a^2=4b^2 ，a=2b ，
若 a=2 ，则 b=1 ，若 b=2 ，则 a= 4 ，
因此标准方程为 x^2/4+y^2=1 或 x^2/4+y^2/16=1 。
3）设方程为 mx^2+ny^2=1 ，代入得 3m+4n=1 ，12m+n=1 ，
解得 m=1/15 ，n=1/5 ，
所以，标准方程为 x^2/15+y^2/5=1 。
4）已知椭圆方程化为 x^2/9+y^2/5=1 ，
设所求椭圆方程为 x^2/(9+k)+y^2/(5+k)=1 ，(k>-5) ，
将已知点坐标代入得 25/(36+4k)+9/(20+4k)=1 ，
解得 k=1 ，因此所求方程为 x^2/10+y^2/6=1 。
5）a+b=9√2 ，c/a=0.6 ，则 c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=9/25 ，因此 a=5b/4 ，
解得 a=5√2 ，b=4√2 ，
所以，方程为 x^2/50+y^2/32=1 或 x^2/32+y^2/50=1 。