Question

求解该矩阵的特征值和对应的特征向量

求解特征值与对应的特征向量

我刚开始学，求帮忙解以下矩阵的特征值和对应的特征向量，要详细步骤，谢谢！

1 -2 -1
-1 0 -1
-1 -2 1

Answer 1

设特征值为t，特征向量为X，单位矩阵记为E，原矩阵记为A
由特征值的定义，有AX=tX，即(tE-A)X =0

我们知道特征向量是非零的。而上述方程要有非零解，必须满足（tE-A）不可逆（否则我们在方程两边同时乘以（tE-A）的逆矩阵，就得到X=0，方程就只有零解了，这是我们所不希望的）

而（tE-A）不可逆 等价于 (tE-A)的行列式等于零，这样就得出了求特征值的具体方法：
算出tE-A的行列式为 t(t-1)(t-1)+4-t-4(t-1) ，令它等于零，解得 t=2 （2重根，即代数重数等于2）或t=-2

已经得到了特征值，那接下来我们的任务就是算出特征值对应的特征向量X
回到最初我们讨论的那个方程：(tE-A)X =0
将特征值t=2代入，可得(2E-A)X=0，而我们的目标就是求出X
容易得到（别告诉我你不会解方程...）X=a[1 0 -1]+b[2 -1 0]，a和b为任意数且a和b不同时为零
类似地，再将t=-2代入，就得到特征值-2对应的特征向量X=c[1 1 1] ，c是任意数

Answer 2

如图，其中m，t，n均是任意实数

Answer 3

A= 1 -2 -1
-1 0 -1
-1 -2 1

λ-1 λ+2 λ+1
I λE-A I= λ+1 λ λ+1 =0
λ+1 λ+2 λ-1
解得 λ=-2/3
所以特征值为-2/3
将特征值带入齐次方程组
-5x1/3+4x2/3+x3/3=0
x1/3-2x2/3+x3/3=0
x1/3+4x2/3-5x3/3=0
先确定上述方程组的系数矩阵的秩r
然后求上述方程组的基础解系 W1..........Wr（哇，太多了，码的好累，下面我就只说思路了哈）
所以属于特征值-2/3的全部特征向量为k1W1+K2W2......KrWr （k去遍相应数域中任意不等于0的数）