Question

求一道椭圆数学题解答

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F,过F作直线与椭圆相交于A、B两点,若有|BF|=2|AF|，求椭圆离心率的范围。

Answer 1

该题有个很简单的方法
当直线AB绕F转动的时候，A离右准线越近，那么B离右准线越远
即AF越小，BF越大
∴AF最小时，BF/AF最大
反之AF最大时，BF/AF最小
AF最小时即A离右准线最近，即A是右顶点时，BF/AF取最大值
反之A是左顶点时，BF/AF取最小值
∴(a-c)/(a+c)<BF/AF<(a+c)/(a-c)
∴要求BF/AF=2在这个范围之内
解出e=c/a>1/3

Answer 2

易知，点A在上，点B在下。设A(x1,y1),B(x2,y2).(一）由A,B两点分别向x轴作垂线。由相似三角形可知，2(x1-c)=c-x2.===>2x1+x2=3c.（二）再由椭圆第二定义可知，|AF|=e[(a²/c)-x1],|BF|=e[(a²/c)-x2].两式相除，整理可得2x1-x2=a²/c.∴两式相加4x1=3c+(a²/c).易知，x1＜a,∴3c+(a²/c)＜4a.===>3c²+a²＜4ac.===>3e²-4e+1＜0.===>(e-1)(3e-1)＜0.===>1/3＜e＜1.