Question

高一数学二次函数

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x-1）-f（x）=2x 。
1，求函数f（x）的解析式
2，在区间【-1，1】上，y=f（x）的图像恒在y=2x+m的图像上方，试确定实数m的取值范围

Answer 1

y=f(x)是二次函数，且满足f(0)=1

设 f(x)=ax^2+bx+1

f(x-1)=ax^2+(b-2a)x+(a-b+1)

f(x-1)-f(x)=-2ax+(a-b)=2x

所以-2a=2
a-b=0

a=-1
b=-1

y=f（x)的解释式 f(x)=-x^2-x+1

在区间【-1，1】上，y=f（x）的图像恒在y=2x+m的图像上方

就是-x^2-x+1-(2x+m)=-x^2-3x+1-m在区间【-1，1】恒大于零

对称轴x=-3/2

所以 -x^2-3x+1-m在区间【-1，1】单调递减

只需f(1)>0
解得 m<-3

Answer 2

设 f(x)=ax^2+bx+1
则f(x-1)=ax^2+(b-2a)x+(a-b+1)

f（x-1）-f（x）=2ax+(a-b)=2x
a-b=0 a=1
则b=-1
f(x)=-x^2-x+1