Question

证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x

呃……最好不要用到积分的知识点……
是中值定理那一节的课后题

Answer 1

证明：用常微分方程来证
∵f'(x)=f(x)，即df(x)/dx=f(x)
∴df(x)/f(x)=dx
∴两边积分，得：ln[f(x)]=x+C
∴两边同取底数为e的自然对数，得：f(x)=e^x+C(C为任意常数)
把f(0)=1代入上式，解得：C=0
∴f(x)=e^x

Answer 2

构造g(x)=f(x)/e^x,则g'(x)=0,在区间(0,t)使用拉格朗日定理g(t)-g(0)=g'(§)t=0所以易得g(t)=e^t*g(0)=e^t*1=e^t

Answer 3

由df/dx=f
得df/f=dx
lnf=x+c
f=e^(x+c)
由f(0)=1
得c=0
即f(x)=e^x