Question

设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对定义域内的任意x,y都满足f(xy)=f(x)+f(y),且x>1,f(x)>0

求f(1);
若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2
写出一个符合要求的函数,并猜想f(x)在(0,+∞)上的单调性
求解和过程

Answer 1

另x=y=1带入已知的方程可以解得：f(1)=0
f(x)=lnx 满足这个方程的特征
接下来正面函数的单调性
f(xy)=f(x)+f(y)
设y,x>1；可以得到xy>x;
设t=xy，则 t>x;
对于任意的t>1，总能找到x,y使得t=xy，且x,y,t >1
带入方程，得到f(t)=f(x)+f(y)>f(x)
因此，f(x)在[1,+无雹逗告穷大)上递增，同指咐理可证f(x)在（0,1）上增，
故 f(x)在(0,+无穷大源明)上增//我机子上没有mathtype
f(4)=f(2)+f(2)=2
f(x)+f(x-3)<=2=f(4)
由函数递增性可以得到
x(x-3)<=4,x>0
可以解得:x<4,x>-1(舍)
故(2)的解为0<x<=4