Question

已知x、y＞0,且xy=1,求x^2+y^2/（x+y）的最小值

已知x、y＞0,且xy=1,求x^2+y^2/（x+y）的最小值 用均值不等式的方法解
谢谢

Answer 1

x^2+y^2=（x+y）²－2xy
所以（x^2+y^2）/（x+y）=[（x+y）²－2xy]／（x+y）=（x+y）－2xy／（x+y）
因为（x+y）≥2√xy=2
所以2xy／（x+y）≤1
即（x+y）－2xy／（x+y）≥1

Answer 2

x^2+y^2/（x+y）≥2√( 1/(x+y) )
因为xy=1所以 x+y有最小值2
所以上式≥2√1/2=√2

x^2+y^2/（x+y）的最小值为√2