Question

已知函数f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)是奇函数，并且函数f(x)的图像经过（1,3）

求实数a b 求函数f(x)在x小于0的值域

Answer 1

函数f(x)是奇函数，则f(0)=0,即
(1+a)/(1+b)=0
=>
a=-1 (*)
函数f(x)的图像经过（1,3），即
f(1)=(1+2a)/(2+b)=3
结合（*）得
b=-7/3
f(x)=(1-2^x)(2^x-7/3)
另t=2^x,x<0时，0<t<1,
f(t)=(1-t)(2t-7/3)在t属于（0,1）上递增。
-7/3=f（0）<f(t)<f(1)=0
即f(x)在x小于0的值域为（-7/3,0）

备注：其实这道题无解。因为f(x)=(1+a2^x)/(2^x+b)既是奇函数（满足f(x)=-f(-x)）又过（1,3）的解是矛盾的。 可以取f（1）=-f（-1）和f（0）=0结合解得a=-1,b=-2/3.这样，（1,3）不在f（x）上。