Question

你好，请问一个问题，能否帮忙看下？

∫mvdv=mv^2-mc^2+m√（1-v^2/c^2)
m是v的函数，c是常数，v=0时m=M，M是常数。求函数m

解题过程是怎样的？谢谢。

Answer 1

解：∵∫mvdv=mv²-mc²+m√（1-v²/c²)
∴mv=v²m'+2vm-c²m'+m'√（1-v²/c²)-vm/[c²√(1-v²/c²)] (上式两端对v求导数，m'表示关于v的导数)
==>[v²-c²+√(1-v²/c²)]m'={1/[c²√(1-v²/c²)]-1}vm
==>dm/m={1/[c²√(1-v²/c²)]-1}/[v²-c²+√(1-v²/c²)]vdv
==>ln│m│=∫{1/[c²√(1-v²/c²)]-1}/[v²-c²+√(1-v²/c²)]vdv
=∫sint/costdt (设v/c=sint，则cost=√(1-v²/c²))
=-ln│cost│+ln│C│ (C是积分常数)
==>m=C/cost=C/√(1-v²/c²) (用cost=√(1-v²/c²)换回)
∵当v=0时，m=M
==>C=M
∴m=M/√(1-v²/c²)。