Question

高二数学题（椭圆）

直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点，且OP与OQ垂直（O为坐标原点），求证：直线L与原点的距离为常数，并求出这个常数。

Answer 1

将直线L：y=kx+b的方程代入椭圆x²/2+y²=1并消去y得：
x²/2+(kx+b) ²=1,
化简得：(1+2k²)x²+4kbx+2b²-2=0,
设P、Q两点坐标为(x1,y1),(x2,y2).
则x1+x2=-4kb/(1+2k²),x1x2=(2b²-2)/(1+2k²).……（*）
因为OP与OQ垂直，所以y1/x1•y2/x2=-1.
即x1x2+y1y2=0.
x1x2+(kx1+b) (kx2+b)=0.
(1+k²)x1x2+kb(x1+x2)+b²=0.
将（*）代入得：(1+k²)[(2b²-2)/(1+2k²)]+kb[-4kb/(1+2k²)]+b²=0.
两边同乘以(1+2k²)得：(1+k²)(2b²-2) -4k²b²+ b²(1+2k²)=0.
整理得：3b²-2-2 k²=0. b²=2(1+k²)/3.
直线L与原点的距离为|b|/√(1+k²)=√(2/3)=√6/3.