Question

高一几何问题

1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点
（1）求证：MN⊥CD
（2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD
2.在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形，AD／／BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点
求证：PB⊥DM
3.直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M,N分别为A1B1,AB的中点.
（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；
（2）求证：A1B⊥AM
（3）求证：平面AMC1⊥平面NB1C
4.在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：
（1）CD⊥AE
(2)PD⊥平面ABE

Answer 1

1.⑴证明: 取CD中点E，连接ME，取ME中点F，连接NF，AC
∵N、F为AC、PC中点
∴PA‖NF
又∵PA⊥矩形面ABCD
∴NF⊥矩形面ABCD
∴NF⊥CD ①
∵矩形面ABCD，AB‖＝CD，M、E为中点 ∠MAD=90°
∴矩形◇AMED
∴ME⊥CD ②
∵NF∩ME于F
∴CD⊥面MNE
又∵MN∈面MNE
∴MN⊥CD
⑵由已知可证明出∠MNE=90°即MN⊥NE
又由⑴可知MN⊥CD,CE∩NE于E,EN∈面PDC
∴MN⊥平面PCD
2.