Question

不等式证明题

证明当x>0时,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2

Answer 1

当x=1时，左边=0=右边。
当0<x<1时假设,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2则,(x+1)Inx<=(x-1)令f(x)=(x+1)Inx-(x-1)则f'(x)=Inx+1/x在令g(x)=Inx+1/x则g'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2<0所以g(x)在0<x<1内是减函数，即g(x)>g(1)=1,f'(x)>1>0所以f(x)在0<x<1内是增函数即f(x)<f(1)=0即(x+1)Inx-(x-1)<0,所以(x+1)Inx<=(x-1)即(x^2-1)Inx>=(x-1)^2
当x>1时要证(x^2-1)Inx>=(x-1)^2即证(x+1)Inx>=(x-1)同理：令F(x)=(x+1)Inx-(x-1)则由上可得F'(x)=Inx+1/x>0所以F(x)在x>1内是增函数即F(x)>F(1)=0,(x+1)Inx>(x-1)成立。即(x^2-1)Inx>=(x-1)^2
综合可得当x>0时,(x^2-1)Inx>=(x-1)^2

Answer 2

把右边除到左边去 然后分类讨论 0<x<1 1<x<e e<x<+∞高中题么 比较难
要不就把右边除到左边去 把左边的部分 是求导数算极值 与1比较