数学不等式证明题
证明：对于一切n属于自然数，都有3的平方分之一加5的平方分之一加5的平方分之一加………………加（2n-1）的平方分之一加（2n+1）的平方分之一小于四分之一恒成立。题目不...
证明：对于一切n属于自然数，都有3的平方分之一加5的平方分之一加5的平方分之一加………………加（2n-1）的平方分之一加（2n+1）的平方分之一小于四分之一恒成立。
题目不好打，只能用文字叙述
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中间那个“5的平方分之一加5的平方分之一”是“5的平方分之一加7的平方分之一”吧。。
不难啊。做法如下：
通项1/(2n+1)² = 1/(4n²+4n+1) < 1/(4n² + 4n) = 1/4 * 1/(n²+n) = 1/4 * (1/n - 1/(n+1))
原式即是对1/(2n+1)² 在n =1到n求和，即 ∑[1/(2n+1)²]。
所以原式 < 1/4 * ( 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +……+ 1/n - 1/(n+1))
= 1/4 * ( 1 - 1/(n+1)) < 1/4 * 1 = 1/4
不难啊。做法如下：
通项1/(2n+1)² = 1/(4n²+4n+1) < 1/(4n² + 4n) = 1/4 * 1/(n²+n) = 1/4 * (1/n - 1/(n+1))
原式即是对1/(2n+1)² 在n =1到n求和，即 ∑[1/(2n+1)²]。
所以原式 < 1/4 * ( 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 +……+ 1/n - 1/(n+1))
= 1/4 * ( 1 - 1/(n+1)) < 1/4 * 1 = 1/4
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追问
这个答案很好，但还有更好的吗
追答
额，不知你学了高数没有，很容易可证明f(n) = ∑[1/(2n+1)²]在n->∞时递增，有上界，是收敛的无穷级数（比式法、比较法均可证明，显然他和p=2时的p-级数很像）。
然后利用两个常见级数求和公式∑[((-1)^(n+1))/n²] = π²/12 和 ∑[1/n²] = π²/6，
可求得∑[1/(2n+1)²] 在n->∞时值(即上界)为 π²/8 - 1 ≈ 0.2337 < 1/4
这个方法两步就能求出∑[1/(2n+1)²]的值，只要你学了高数中的无穷级数。我觉得在初等数学中也就这个方法比较巧妙了，因为分母只缩小了1，对原式做了很少的放大。
居然没发现是一个团的- - 为什么那个方法要被封啊- -
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