Question

不等式证明题。

不等式证明对于任意n属于正整数，x1,x2,x3,…xn均为非负实数,且x1+x2+x3…+xn≤1／2,证明(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2成立。
如何证明？

Answer 1

楼上这位仁兄做的好复杂(竟然求导),其实就是用数学归纳法来证明当0≤x_i≤1(i从1到n)时有(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1-x1-x2-...-xn
当n=2时,(1-x1)(1-x2)≥1-x1-x2等价于x1x2≥0明显成立
假设n时成立(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1-x1-x2-...-xn(*),那么n+1时,就有
(1－x1)(1－x2)…(1－xn)(1-x_(n+1))≥(1-x1-x2-...-xn)(1-x(n+1))≥1-x1-x2-...-xn-x(n+1)
其中第一不等号是由(*)得到,第二个不等号是用一次n=2时的结论.
因此有数学归纳法知当x_i≤1(i从1到n)时有(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1-x1-x2-...-xn
再利用条件x1+x2+x3…+xn≤1／2,就得到(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥1／2.

Answer 2

由x1+x2+x3…+xn≤1／2知xn≤1/2n→1-xn≥1-1/2n=(2n-1)/2n 令y=(1－x1)(1－x2)…(1－xn)≥(1-1/2n)∧n 取y最小y=(1-1/2n)∧n 对y求导过程如下 lny=n*ln(1-1/2n) y'*1/y=ln(1-1/2n)+n*2n/(2n-1)*1/(2n∧2) y'={ln(1-1/2n)+n*2n/(2n-1)*1/(2n∧2)}*(1-1/2n)∧n y'={ln(1-1/2n)+1/(2n-1)}*(1-1/2n)∧n y'={ln{(2n-1)/2n*e∧[1/(2n-1)]}}*(1-1/2n)∧n<0 当n→∞时y最小 y=lim(1-1/2n)∧n,n→∞ y的求法如下 ln[(1-1/2n)∧n]=ln(1-1/2n)/(1/2n)/2 令t=1/2n 由于n→∞时,ln[(1-1/2n)∧n]=ln(1-1/2n)/(1/2n)/2=1/(1-1/2n)*(-t')/t'/2=1/(1-1/2n)/-2=-1/2 所以y=e∧-1/2>2/1

追问

楼下说的对吗。？