Question

如图，三角形ABC中，D为BC中点，DE，DF分别平分角ADB，角ADC,BE垂直DE，CF垂直D

如图，三角形ABC中，D为BC中点，DE，DF分别平分角ADB，角ADC,BE垂直DE，CF垂直D如图，三角形ABC中，D为BC中点，DE，DF分别平分角ADB，角ADC,BE垂直DE，CF垂直DF,P为AD，EF的交点，证明EF=2DP

Answer 1

证明：延长BE交AD于G，连接FG
因为DE平分角ADB
所以角BDE=角GDE=1/2角ADB
因为DE垂直BE
所以角BED=角GED=90度
因为DE=DE
所以三角形BED全等三角形GED (ASA)
所以BD=GD
因为DF平分角ADC
所以角CDF=角GDF=1/2角ADC
因为D是BC的中点
所以BD=CD
所以CD=GD
因为DF=DF
所以三角形GDF全等三角形CDF (SAS)
所以GF=CF
角CFD=角GFD
因为DF垂直CF
所以角CFD=90度
所以角GFD=90度
因为角ADB+角ADC=180度
所以角GDE+角GDF=角EDF=90度
因为角GED+角EDF+角GFD+角EGF=360度
所以角EGF=90度
所以角GED=角EDF=角GFD=角EGF=90度
所以四边形DEGF是矩形
所以DG=EF
DP=GP=1/2DG
所以DP=1/2EF
所以EF=2DP

Answer 2

∠EDF=∠DFC=∠BED=90°
∴ FC// DE, BE// DF
∠EBD=∠FDC; ∠DCF=∠BDE
BD=DC
△BDE ≌ △DCF，角边角
BE=DF, DE=CF
∴ △BDE ≌ △DCF ≌ △FED，边角边
EF=BD=DC

∠FED=∠BDE=∠EDP, △EPD是等腰三角形
∴ EP=DP
∠EFD=∠CDF=∠PDF，△DPF是等腰三角形
∴ PF=DP
∴ EF=EP+PF=DP+DP=2DP