Question

证明一个函数的单调性和极限，请数学分析和高等数学的高手帮忙

证明图片中的函数的单调递增
和当k趋向于正无穷大时，其极限为1/2
它的极限已经得到证明，现在请大家思考怎样证明它递增

Answer 1

很明显这儿的K是正整数啊，呵呵公式编辑器
假设上面的条件是成立的，我们来看这哥问题啊；
单调性自己用定义检验，比较容易
首先化简分子{ln(k^k)/((k+1)^k)+ln((k+2)^(k+1)/((k+1)^(k+1))}
=ln((k/k+1)^k)+ln(((k+2)/(k+1))^(k+1))
=k*ln(1-(1/(k+1))+(k+1)*ln(1+1/(k+1))
下面的分母用同样的方法，ln(1+1/(k)+ln(1-1/(k+2)),
极限可以用ln(1+1/x)和ln(1-1/x)的泰勒展开，使用高阶无穷小可以求出
只需要泰勒展开的前面几项就可以了
k趋于无穷时，1/k是趋于0的，这个时候k=1/x(是同价无穷大)，从而x趋于0
(1/x)*ln(1-x)=(1/x)*(-x-x^2/2-x^3/3+...)=-1-x/2-x^2/3...；
(1/x)*ln(1+x)=(1/x)*(x-x^2/2+x^3/3-...)=1-x/2+x^2/3...；
k*ln(1-(1/(k+1))+(k+1)*ln(1+1/(k+1))与1/k是同级的无穷小，从而可以求出结果

Answer 2

这个题你只要用定义法证就OK,也就是证明F(X)-F(X-1)>0
你做差化减,应该不难.
打起来太困难了,我就不细做了.

Answer 3

分子递增,分母递减,所以整体递增