Question

求解高数题，是关于利用单调性证明极限存在的，只需要帮忙证明出单调性即可，谢谢

见图

Answer 1

1. x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)]
用归纳法证明，当n>1时, 1<x(n)<2,.
x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] >0, 即 {x(n)}单增。
2. x(n+2)= (1/2)[ x(n)+x(n+1)]
=> x(n+2) - x(n+1) = (-1/2) [x(n+1) - x(n) ]
设 b(n) = x(n+1)-x(n)， {b(n)} 是首项 b-a, 公比 （-1/2）的等比数列。
b(n) = (b-a) * (-1/2)^(n-1)
x(n) = x1 + (b- a) + (b-a)*(-1/2) + ...... + (b-a) * (-1/2)^(n-2)
Limit x(n) = a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3

追问

第一个好像有些出入吧，x(n+1)-x(n)得不到后面的式子， 1<x(n)<2到是关键
x(n+1)/x(n)=（2-Xn）/[Xn*(1+Xn)] 小于1得出递减。递减有下限故极限存在可求。

追答

1. 如果题目是： x(1)=2, x(n+1) = 2 + x(n)/[1+x(n)]
=》 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] > 0, 即 {x(n)}单增。

用归纳法证明 x(1)=1, x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)] => {x(n)} 单增。
假设 x(n)> x(n-1), x(n+1) = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n)

追问

嗯，第一个的确是单增，但是 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] 我没看懂的，还麻烦详细说下，谢谢

追答

抱歉，我写错了。 我见过的一道题： x(1)=2, x(n+1) = 2 + x(n)/[1+x(n)]
可以得到 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ]
与你这道题不同。
本题用归纳法证明吧。

追问

还请教下怎么用归纳法证明呢，谢谢~

追答

1x(1), 假设 x(n)> x(n-1), 则 1 /[1+x(n)] 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n)
即证 x(n+1)>x(n) 。

Answer 2

1。 Xn+1 = 1+Xn/（1+Xn）
n>1时，可证1<Xn<2,
Xn+1-Xn = [1+2Xn/(1+Xn)]-Xn = 1-Xn(1+Xn)/1+Xn < 0
{x(n)}单调递减。
2。 Xn+2= (1/2)（Xn+Xn+1） 等价于 Xn+2 - Xn+1 = (-1/2) （Xn+1 - Xn)
令T(n)=Xn+1 - Xn T(n)的头一项是b-a 公比q=-1/2
有通项公式得T(n) = (b-a)(-1/2)^(n-1)
Xn = X1 + (b- a) + (b-a)(-1/2) + ...... + (b-a)(-1/2)^(n-2)
Lim(n->无穷大）Xn=a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3

追问

不好意思额，第一题的我怎么看还是不对额，麻烦你看下呢。

追答

化简出错：[1+2Xn/(1+Xn)]-Xn=1-Xn-Xn^2/(1+Xn)< 0

追问

不知道你是怎么化简的
Xn+1 = 1+Xn/（1+Xn）
Xn+1-Xn = 1+Xn/（1+Xn）-Xn
得不出你的表达式。。。

追答

Xn+1 = 1+Xn/（1+Xn）=Xn[1/（1+Xn）+1/Xn]化同分母得Xn[1+2Xn/Xn（1+Xn）]分子分母都除以Xn得1+2Xn/(1+Xn)，再计算1+Xn/（1+Xn）-Xn，还是化同分母得到1-Xn-Xn^2/(1+Xn)。

追问

Xn+1 = 1+Xn/（1+Xn）=Xn[1/（1+Xn）+1/Xn]化同分母得Xn[1+2Xn/Xn（1+Xn）]分子分母都除以Xn得1+2Xn/(1+Xn)..............直接同分母不就是了么。你自己把小括号丢了。。。
算了，哥们化简这东西我不说了，只能是谢谢你的热心了，这个明显是单增
还有要是你化简什么的你检查不出来，你可以试着用Xn=1或是2带进去看验算下。
我是来请教高数的，不是来请教化简的。

追答

那不好意思，假设x(n+1)-x(n)>0，其中Xn=1+Xn-1/1+Xn-1,Xn/（1+Xn）>Xn-1/1+Xn-1当Xn=1,Xn-1=0可以证明是一个单调递增数列,还有Xn/（1+Xn）当Xn=k+1时，都不能整除，故
1<Xn<2