Question

如图,四边形ABCD中,AB//CD,AC平分∠BAD,CE//AD交AB于E.

1.求证：四边形AECD是菱形
2.若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由.

Answer 1

（1） ∵AB//CD,CE//AD ∴ 四边形ABCD为平行四边形 又∵AC平分角BAD, ∴∠BAC=∠DAC ∵AD=CE ∴∠DAC=∠DCA ∴AD=DC 同理得AE=EC 又∵ABCD为平行四边形 ∴AD=EC，AE=CD ∴ AD=DC=CE=EA ∴AECD是菱形（2）直角三角形∵AE=EC ∴∠EAC=∠ECA 又∵AE=EB ∴EB=EC ∴∠EBC=∠ECB 又因为△内角和为180° ∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠CBA+∠CAB∴∠ACB=90° ∴△ACB为直角△

Answer 2

<1> ∵AB//CD,CE//AD
又∵AC平分角BAD,
∴∠BAC=∠DAC
∵AD=CE
∴∠DAC=∠DCA
∴AD=DC
同理得AE=EC
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=EC，AE=CD
∴ AD=DC=CE=EA
∴四边形AECD是菱形
<2>是直角三角形，理由如下：
∵AE=EC
∴∠EAC=∠ECA
∵AE=EB
∴EB=EC
∴∠EBC=∠ECB
∵三角形三内角和180°
∴ ∠ACB=∠ACE+∠BCE
∴∠ACB=∠CBA+∠CAB
∴∠ACB=90°
∴△ACB为直角三角形